Lineáris algebra
A lineáris algebra a matematika egyik ága, amely a vektorok és vektorterek tulajdonságaival és műveleteivel foglalkozik. Alapvetően a lineáris egyenletek megoldásával, a vektorok geometriai és algebrai tulajdonságaival, valamint a lineáris transzformációkkal és mátrixokkal foglalkozik.
Vektorok
A vektorok olyan matematikai objektumok, amelyeket irány és hosszúság jellemez. A vektorokat általában nyilakkal szokták ábrázolni, ahol a nyíl iránya jelzi a vektor irányát, a nyíl hossza pedig a vektor hosszát.
A vektorokat a koordinátarendszerben is ábrázolhatjuk, ahol a vektor kezdőpontja az origó, és a vektor iránya és hossza a koordinátatengelyek mentén adott.
Vektorterek
A vektorterek olyan matematikai struktúrák, amelyekben vektorokat lehet összeadni és szorzni skalárral. Egy vektortérnek meg kell felelnie bizonyos tulajdonságoknak, például a vektorok összeadása és skalárral való szorzása zárt műveletnek kell lennie.
A vektorterekben definiálhatók továbbá lineáris kombinációk, lineáris függetlenség, bázis és dimenzió fogalmak is.
Lineáris transzformációk
A lineáris transzformációk olyan függvények, amelyek vektorokat képesek átalakítani. A lineáris transzformációk megtartják a vektorok közötti lineáris kombinációkat, azaz a transzformált vektorokat is lehet lineáris kombinációként kifejezni.
A lineáris transzformációkat mátrixokkal is lehet reprezentálni. A mátrixok segítségével könnyen elvégezhetők a lineáris transzformációk műveletei, például a transzformációk kompozíciója vagy inverze.
Mátrixok
A mátrixok olyan táblázatszerű struktúrák, amelyekben számokat tartalmazó elemek vannak elhelyezve. A mátrixokat általában négyzetes zárójelben vagy nagyobb méretű mátrixok esetén kerek zárójelben szokás ábrázolni.
A mátrixokkal elvégezhetők különböző műveletek, például a mátrixok összeadása, szorzása, transzponálása vagy determinánsának számítása.
A lineáris algebra számos alkalmazási területtel rendelkezik, például a fizikában, a számítástudományban, a gépészetben és a gazdaságtudományban. A lineáris algebra alapjai nélkülözhetetlenek a modern technológia és tudományos kutatások számos területén.
